第一章勾股定理专项练习题一、选择题(每题3分，共30分)1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的(　　)A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是(　　)A．30，40，50 B．7，12，13C．5，9，12 D．3，4，63．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则第三边长的平方是(　　)A．169 B．119 C．13 D．1444．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是(　　)A．3 cm2 B．4 cm2 C．5 cm2D．6 cm2第4题第7题第10题(第4题) (第7题) (第10题)5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为(　　)A．∠A＝∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2C．b2＝a2－c2 D．a∶b∶c＝2∶3∶46．已知一轮船以18 n mile/h的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5 h后，两轮船相距(　　)A．30 n mile B．35 n mile C．40 n mile D．45 n mile7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于(　　)A.10 /13 B.15/13 C.60 /13 D.75 /138．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．已知直角三角形的斜边长为5 cm，周长为12 cm，则这个三角形的面积是(　　)A．12 平方厘米 B．6 平方厘米 C．8 平方厘米D．10 平方厘米10．如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是(　　)A．S1＋S2＞S3 B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3 D．无法确定二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC＝6 cm，则AD＝__________．第11题第12题第13题(第11题) (第12题) (第13题)12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300 m，结果他在水中实际游了500 m，则该河流的宽度为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，AC＝5 cm，将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________．14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－b))＝0，则△ABC的形状为_________________________________________．15．如图是一个长方体，则AB＝________，阴影部分的面积为________．第15题第16题16．如图是"赵爽弦图"，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，且AH∶AE＝3∶4.那么AH等于________．17．红方侦察员小马的正前方400 m处有一条东西走向的公路，突然发现一辆蓝方汽车在公路上行驶，他拿出红外线测距仪测得汽车与他相距400 m，10 s后又测得汽车与他相距500 m，则蓝方汽车的速度是________m/s.18．在一根长90 cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆柱体，且底面周长为4 cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈(如图为灯管的部分示意图)，则彩色丝带的总长度为__________．第18题三、解答题(19～22题每题9分，其余每题10分，共66分)19．某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？第19题20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.第20题21．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点E在CD上，DE＝b，AE＝c，延长CB至点F，使BF＝b，连接AF，试利用此图说明勾股定理．第21题22．如图，一根12 m的电线杆AB用铁丝AC，AD固定，现已知用去的铁丝AC＝15 m，AD＝13 m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9 m，B，D两点之间的距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？第22题23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9 cm，OB＝3 cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？第23题24．如图，在长方形ABCD中，DC＝5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求△ADE的面积．第24题25．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8 cm，高AB＝6 cm，水深为AE＝4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．第25题参考答案一、1.B　2.A　3.A　4.C　5.D　6.D7．C　8.D　9.B　10.B二、11.4 cm　12.400 m　13.7 cm14．等腰直角三角形　15．13；30　16.6　17.3018．150 cm　点拨：因为灯管可近似看成圆柱，而圆柱的侧面展开图是一个长方形，所以假设把灯管的侧面展开后，得到一个由30个完全相同的小长方形组成的大长方形，且每个小长方形的长等于灯管的底面周长，小长方形的高等于灯管长度的eq \f(1,30)，则丝带的长度等于小长方形对角线长的30倍．三、19.解：因为CD＝AB＝3.8 m，所以PD＝PC－CD＝9 m.在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，得AP＝15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.20．解：如图，连接BE.　第20题答案图因为AE2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，BE2＝22＋42＝20，所以AE2＋AB2＝BE2.所以△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AE.21．解：在△ADE和△ABF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB＝a，,∠D＝∠ABF，,DE＝BF＝b，))所以△ADE≌△ABF.所以AE＝AF＝c，∠DAE＝∠BAF，S△ADE＝S△ABF.所以∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝∠EAB＋∠DAE＝∠DAB＝90°，S正方形ABCD＝S四边形AECF.连接EF，易知S四边形AECF＝S△AEF＋S△ECF＝eq \f(1,2)[c2＋(a－b)(a＋b)]＝eq \f(1,2)(a2＋c2－b2)，S正方形ABCD＝a2，所以eq \f(1,2)(a2＋c2－b2)＝a2.所以a2＋b2＝c2.22．解：垂直．理由如下：因为AB＝12 m，AC＝15 m，BC＝9 m，所以AC2＝BC2＋AB2.所以∠CBA＝90°.又因为AD＝13 m，AB＝12 m，BD＝5 m，所以AD2＝BD2＋AB2.所以∠ABD＝90°，因此电线杆和地面垂直．点拨：要判定电线杆和地面垂直，只需说明AB⊥BD且AB⊥BC即可，利用勾股定理的逆定理即可判定△ABD和△ABC为直角三角形，从而得出电线杆和地面垂直．23．解：根据题意，BC＝AC＝OA－OC＝9－OC.因为∠AOB＝90°，所以在Rt△BOC中，根据勾股定理，得OB2＋OC2＝BC2，所以32＋OC2＝(9－OC)2，解得OC＝4 cm.所以BC＝5 cm.24．解：由折叠可知AD＝AF，DE＝EF.由S△ABF＝eq \f(1,2)BF·AB＝30 cm2，AB＝DC＝5 cm，得BF＝12 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝13 cm，所以BC＝AD＝AF＝13 cm.设DE＝x cm，则EC＝(5－x)cm，EF＝x cm，FC＝13－12＝1(cm)．在Rt△ECF中，由勾股定理，得EC2＋FC2＝EF2，即(5－x)2＋12＝x2，解得x＝eq \f(13,5).所以S△ADE＝eq \f(1,2)AD·DE＝eq \f(1,2)×13×eq \f(13,5)＝16.9 (cm2)．25．解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最短路线．第25题答案图(2)因为AE＝4 cm，AA′＝12 cm，所以A′E＝8 cm.在Rt△A′EG中，EG＝6 cm，A′E＝8 cm，A′G2＝A′E2＋EG2＝102，所以A′G＝10 cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 cm.所以最短路线长为10 cm.