高斯最主要的学术贡献 高斯被后人誉为“数学王子”．这种赞誉恰如其分，他是数学史上一个转折时期的杰出代表人物，起着承上启下的作用．18 世纪的数学处于由微积分的创立而促成的分析学蓬勃发展的时代，它的代表人物往往毫不顾及推理的严格性，而得到大量跟天文学、力学等自然科学有联系的分析学成果．数论、代数和综合几何方面只有较零散的结果．高斯强调数学作为一门严谨的科学，必须要追求明确的定义、清晰的假设、严格的证明以及成果的系统化，倡导了至今已延续近 200 年的现代数学传统。
《算术研究》是高斯最具代表性的著作．该书共分七节．第一节：一般同余．定义有理整数模一个自然数同余的概念；证明同余的基本性质(包括除的算法)．第二节：一次同余．证明整数分解成素数的唯一性；定义最大公因子和最小公倍数；导入同余的符号。
第三节：幂剩余．研究给定数的幂模(奇)素数的剩余，其基础是费马小定理。
以上三节是高斯为读者阅读书的主要部分而首次系统表述的初等数论知识．第四节：二次剩余．这一被誉为数信纸中的“酵母”的定理最早为欧拉提出，勒让德作过繁杂的讨论，但都未给出正确的证明．高斯在证明中首先论证定律对某些素数成立，然后通过对素数的完全归纳法证明之．高斯一生中给出过二次互反律的六个不同的证明．1817 年高斯就其证明之一发表评论时说：“高级算术的特点是，通过归纳愉快地发现许多最漂亮的定理，但要证明它们……常常要经过多次失败，最终的成功依赖于深刻的分析和有幸发现的某种结合，数学这一分支中不同理论间的奇妙结合．”他认为寻找定理的新证明“绝非多余的奢侈品，有时候，你开始并没有得到最美和最简单的证明，而恰是这种证明才能深入到高级算术的真理的奇妙联系中去．这是吸引我们去研究的主要动力，并常能使我们发现新的真理．”这反映了高斯对纯数学研究的看法．第五节：二次型．该节主要部分的基础来源于拉格朗日，高斯从他的工作中抽象出型的基本性质、型的变换及等价概念，将型的理论系统化并加以发展，如对给定判别式的型的各个类，皆可选取一个型为其代表，高斯给出了选择最简单的代表的准则；他证明了有关型的复合的重要定理，讨论了用型表示数的问题．第六节：应用．提出了上节引入的概念的重要应用，主要涉及部分分数、循环小数、解同余方程以及区分合成数和素数的准则等．第七节：分圆问题．这是高斯于 1896 年宣布已完成正十七边形作图后首次公开它的理论基础。
《算术研究》系统总结了前人的工作，解决了一批最困难的著名问题，系统地形成了一批概念和问题，它直接影响了其后一个世纪的研究模式，实为现代数学史上第一部结构严谨的数论巨著．高斯曾称“数论是数学中的女皇”，足见他对数论的重视．在他的科学日记及手稿中，还记载着他的其他数论发现，重要的有：（1）根据瑞士数学家 J．兰伯特的素数表和他自制的素数表，对素数的分布作出猜测； (2)通过实例找到双纽线函数的周期与算术-几何平均的关系，并给出了证明；（3）写于 19 世纪早期的一些手稿表明，高斯已熟悉了最终由 F．克莱因等人完成的一种模函数的理论的基本要领．他是从二次型的约化理论出发到达模函数论的．高斯还掌握了模函数的几何表示．（4）提出奇异级数，后在数论发展中变得十分重要；（5）在研究四次剩余的理论时，将整数概念推广到复域；他还对几种特殊情形证明了四次互反律． (6)提出二元和三元二次型的代数理论有相应的几何模拟(1830)，这是数的几何理论的一个发端． 高斯是 19 世纪分析严格化的先躯之一．他在 1813 年发表了“无穷级数……的一般研究”，对超几何级数做出了详细的研究。
高斯对复函数论也作出了开创性的贡献．在给贝塞尔的一封信(1811 年 12 月)中，他描述了复函数沿复平面上的曲线积分的方法，以及复函数基本定理．因高斯未公开发表他的成果，而 A．L．柯西的表述较为完整，现称此定理为柯西积分定理．高斯在复分析方面的另一重要成果是获丹麦哥本哈根科学院奖的那篇文章．它实际上解决了任一曲面保形变换到任何另一曲面上的解析条件问题．高斯的几何学研究，使他实现了 19 世纪最富革命精神的两项几何创造：非欧几何和内蕴微分几何． 关于非欧几何，高斯生前从未正式发表他的成果，但从其通信、科学日记及手稿中，可清晰看到他的思想发展脉络，证明他是最早认识到存在非欧几何的数学家．(1)1799 年 9 月，他在科学日记中记道：“在几何基础的问题上，我们获得了很好的进展．”(2)同年，W．波尔约在给高斯的信中自称能从欧几里得的其他公理公设推出平行公设．高斯在 12 月 17 日的回信中婉言否定了波尔约的结论，并说“我可以从存在面积为任意大的直角三角形的假设，严密地导出平行公设．大多数人肯定会把它当作公理．但我不这样做，因为我相信不管三角形三个顶点离得多么远，其面积可能永远在某个限度以内．”(3)在 19 世纪初，数学家们已经知道如平行公设不成立，则可导出存在绝对长度单位．但因无法找到这样的单位，勒让德于 1794 年认定这反而是使人相信平行公设的理由．高斯在给天文学家 C．L．格林的信(1816)中表示，绝对长度单位的存在固然值得怀疑，但他无法从存在绝对单位推出任何矛盾．他觉得有一绝对长度单位反而更好，并说：“人们可以取角度为 59°59′59″9999 的等边三角形的边长为单位长度．”(4)1824 年，高斯在回答 F．A．陶里努斯“证明”平行公设的来信时写道：“由三角形的内角和小于 180°的假设可导出一种奇异的几何，它跟欧几里得几何大相径庭，但其本身却是相容的．”高斯接着说此类几何由某一常数所确定，“这常数越大，这几何就越接近欧氏几何，当它变成无穷大时，两种几何就一致了．”高斯当时未指出这常数(即绝对单位)的值．实际上它可通过空间曲率 K 来表示。
高斯一直认为几何是和力学一样应能以实践检验的科学，他又十分熟悉测量时的误差估计，而在当时的条件下尚不可能对非欧几何进行有说服力的检验，高斯可能是不愿意公布会引起争论而无法作出最终判决的理论．关于高斯的内蕴微分几何思想，集中体现在《曲面的一般理论》中．（1）以曲面的参数方程为研究的出发点，定义弧长元素，并给出曲面上曲线间夹角的定义．（2）推广 C．惠更斯和 A．C．克莱罗关于平面曲线曲率的概念，定义了一个曲面在曲面上一点处的曲率，称为高斯曲率，高斯在各种坐标系(曲线坐标和直角坐标)中给出了曲率用曲面的偏导数表示的公式，证明曲率 完全跟曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态无关．因此当曲面无伸缩地弯曲时，曲面的所有性质(包括曲率)亦保持不变．这就提出了几何史上一个全新的重要概念，即一张曲面本身就是一个空间．（3）研究了曲面上的测地线，证明了测地线构成的三角形的著名定理.天文学 高斯曾在给 W．波尔约的信中说，天文学和纯粹数学是他灵魂的指南针永久指向的两极，表明天文学在高斯心目中的地位．高斯是在天文学史上的一个重要时期介入这一领域的．在 1800 年前后，由于技术和光学仪器的进步，以及观测资料的系统积累，已编制出西方天文学界的第一部可靠的天象图，这对发现新天体大有裨益；又由于外行星的发现(1781 年发现天王星)，为理论天文学提出了更精确计算行星摄动的问题．1801 年 1 月 1 日，意大利天文学家 J．皮亚奇(Piazzi)新发现一颗亮度为 8 等的星，到同年 2 月 11 日，人们仅观测到它在其轨道上运行了9°，它便行至日光中而无从继续观测．全欧洲的天文学家都期待重新发现这颗现定名为谷神星的小行星．高斯根据拉普拉斯的方法和他在算术几何平均方面的知识，详细计算了谷神星的星历表，预测了它再次出现的时间和位置．高斯的方法载于《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》，其新思想是充分利用半径向量扫过的扇形面积与相应三角形的比值．高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道是椭圆还是双曲线，只要根据三次完全观测(即包含时间、赤经和赤纬的观测)就能算出运行轨道的特性．高斯方法的普适性使得整个计算比前人针对不同天体使用不同的特殊方法要复杂，但它对新发现的星体轨道的计算有本质的优越性，特别是当观测资料像初次发现谷神星那样十分匮乏时(此时很难区分该星是彗星还是行星)．高斯的方法遂成为计算天文学的经典．在上述著作中，高斯首次发表他的最小二乘法，这是他整理观测数据必不可少的工具．1812 年他在致拉普拉斯的信中称，自 1802 年起几乎每天用最小二乘法计算新的行星轨道．在 1803 年他还和阿尔伯斯讨论过这种方法，高斯的遗稿证实了上述说法．可见高斯和勒让德同为此方法的独立发明者，不存在剽窃问题。
高斯在“确定行星对任意点的引力……”以及一些手稿中，继牛顿和拉普拉斯创立天体摄动学说后，提出了一种分析摄动问题的具体模型，即将行星质量假想为按一定方式分布于整个运行轨道上，据此计算星体间的互相影响，探讨了长年摄动问题，对摄动理论做出了基础性贡献．高斯对实用天文学的贡献除积累了几十年的观测资料，预报新发现的小行星轨道外，还自制天文仪器六分仪，为提高观测精度而从事几何光学研究，改进了望远镜的质量。
测地学高斯在实施汉诺威公国的测地计划的实测工作中，使用传统的三角测 量法，即从长度精确测定的基线出发，选定一个三角形网络将所测的地域 覆盖．各三角形的顶点的选取，至少应能保证从两个方向上对其进行目力 观测．测出各三角形内角的精确值是提高测地精度的关键．由于地形千变 万化，仪器精度不高，使实测工作费时费力；测量时不可避免的随机误差 也给数据处理提出了新课题．高斯首先设计了日光反射信号器以提高观测 精度．该仪器的主要部件是一面能旋转的镜子，配以必要的光学仪器(如小望远镜)，它在测量时既可作为发光的被测目标，又可用于传递信息， 成为三角测量的标准仪器．借助这一发明，高斯能进行远距离的观测(反 射光在 15 英里远处仍相当于一等星的亮度)，即使在天空有云，无直射阳 光照射的条件下仍能保证观测继续进行．这一仪器到 1840 年才为其他人 改进．高斯还曾设想用 100 个平面镜(每个为 1.5×1.5 平方米)制作巨大 的反射器，它可将日光反射到月球表面，如果能把天文学家送上月球，他 们就能根据反射光轻而易举地决定经度差． 在测地的理论工作方向，高斯依据前述保形变换的一般理论，给出了 平面到平面、球面到平面和旋转椭球面到球面的保形映射实例．他还在 《……哥廷根与阿尔唐纳两天文台之经度差》一文中，首次提出可将地球 表面视为在其上每点与重力方向相垂直的几何面，以后发展出他的位势理 论．高斯的测地工作总结于他的论文“高等测地学研究” 。
高斯的工作后为德国测地学家所发展，著名的高斯-克吕格尔投影即是其一，它是横向墨卡托投影的推广．曾有人对高斯花费巨大精力于野外测量表示婉惜．贝塞尔于 1823 年就劝告他放弃实地观测，以免虚度年华．高斯回信说：“世上所有的测绘与度量，确实比不上哪怕是将科学真理向前推进一步来得有份量．”但他觉得“不可能凡事都用一种绝对的标准去衡量”，还“应该考虑相对的价值．”无论如何，高斯觉得他为国家做了一件实际有效的工作而感到宽慰，况且因此而获得的津贴彻底改善了他的经济状况．物理学 高斯在物理学方面的第一项成果是于 1829 年提出的力学中的最小约束原理：一个系统的运动将尽可能少地偏离其自由运动的状态，偏离的程度由各部分质量乘其偏离自由运动路径的距离平方的总和来度量．这是著名的达朗倍尔原理的一种新的等价形式，它明显跟最小二乘法有关，高斯则自称这项成果受益于对毛细现象的研究．后者的成果总结于 1830 年那篇“论平衡状态下流体性质……”的文章，其中有涉及重积分、边界条件和可变积分界限的变分问题的漂亮解答，给出了平衡流体理论的一个基本定理．高斯说他对流体性质的研究是纯理论性的，属于理论物理学的一种练习，是想看看到底有哪些数学能用于说明自然现象。
高斯在物理学上的惊人之举是和韦伯合作发明了世界上首例电磁电报．其理论依据来自 H．C．奥斯特发现的电流会使磁针偏转(1820)和 M．法拉第发现的感应电流．他们的电报装置，一端(发报机)是可沿磁棒移动的感应线圈，另一端(收报机)是线圈及用细线悬挂的磁针，中间以导线将两端线圈联成回路(带开关)．利用感应线圈的移动和开关的开断，可产生磁针朝两个方向(向左←或向右→)的偏转，即传递两种信号．高斯和韦伯规定了字母与偏转方向间的对应关系．高斯和韦伯合作的地磁学研究达到了更深的理论层次．洪堡的全球地磁观测计划，目标是测定地磁强度、磁偏角和磁倾角随时间和地点的变化，以建立令人满意的地磁理论．高斯首先为磁的度量确立了一套“绝对单位制”(1832)．他的基本想法是磁(他称作磁流)能够而且应该以其效应来度量，他定义单位“磁流”为如下强度的力：以单位磁强排斥相隔一单位距离的另一单位“磁流”．他选定力学中度量长度、质量和时间的惯用单位毫米、毫克和秒为基本单位，借助库仑定律将它们引伸到磁学(以至静电学)中，确立了度量磁场强度的标准，韦伯运用这一思想建立了电动力学的绝对单位制．他们的这套单位制在 1881 年经适当修改后为国际物理学界所接受，即所谓的厘米·克·秒单位制，高斯的名字被选作磁场强度和磁感应的单位名称． 高斯一生中多次关注过几何光学的理论问题，为消除光学仪器的色差，他提出将不同质地的凸透镜与凹透镜组合使用，即所谓的高斯物镜它不仅可用于望远镜，也可用于显微镜．《光的折射研究》是高斯主要的光学著作，他分析了光通过一组镜片的路径，证明了任一组镜片可等价于适当选择的单个镜片。