8.5 PLS案例研究：一个过程优化模型8.5.1 数据集描述在本节中，我们将研究一个名为SOVRING的PLS过程优化调查，该调查涉及一个矿石分选厂
目标是（1）预测实验区域内所有可能因素组合的响应值，以及（2）确定一个合适且稳健的设定点
然而，当同时处理多个响应时，通常很难找到满足所有响应目标的单一设定点，因此最终设定点往往是在部分冲突目标之间进行妥协的结果
SOVRING数据集包含三个可控因素，根据中心组合设计在17个实验中进行变化
这些因素是铁矿石的进料速率（Ton_In）、第一磁选机的速度（HS_1）和第二磁选机的速度（HS_2）
在这17次实验中，有八次实验来自设计的因子部分，六次实验位于三个因子轴上的位置实验，还有三个实验在设计中心进行了重复试验
研究所得实验设计的一种方法是绘制原始数据的散点图
图8.9（左图）显示了设计因子HS_1和HS_2的散点图，点的规律性是明显的
因此，基础设计的影响是不可忽视的
类似的散点图可以生成HS_1与Ton_In以及HS_2与Ton_In之间的对比，但此处未提供这些图像
在接下来的章节中进行的多变量数据分析MVDA - PLS建模能够识别并利用X矩阵（图8.9，右图）表达这种规律性
图8.9（左）HS_1与HS_2的散点图，（右）PLS t1/t2得分图SOVRING设计中，每个因子组合被保留了20分钟，以更好地捕捉正常的工艺变化
中心组合设计中每个实验点对制造性能的影响被编码为六个响应变量（即六个Y变量）
浓缩材料被分为两个产品流，一个称为PAR，另一个称为FAR
这两个产品的数量构成了两个重要的响应变量（应该最大化）
另外两个重要的响应变量是FAR中P的百分比（%P_FAR）和FAR中Fe的百分比（%Fe_FAR），分别应该最小化和最大化
对于每个因子设置，记录了具有完整Y数据的五个观测值
因此，具有完整Y数据的SOVRING子集包含了85个观测值（即17个设计运行和5个时间点的乘积）
这是下一节中考虑的数据集
8.5.2 对85个样本的SOVRING子集进行PLS建模建立了一个包括三个设计因子（Ton_In、HS_1、HS_2）及其六个扩展项的PLS模型
该模型包含五个主成分，并利用了61%的X（R2X = 0.61）来建模76%（R2Y = 0.76）和预测70%（Q2Y = 0.70）的响应变异
图8.10（左）显示了R2Y和Q2Y随着模型复杂度增加的变化情况
图8.10（右）显示了在使用五个成分后，每个单独的响应变量的建模和预测效果
我们可以看到，两个重要的响应变量PAR和FAR在模型中得到了出色的描述和预测
这两个响应变量应该被最大化
另外两个重要的响应变量%P_FAR和%Fe_FAR分别应该被最小化和最大化，它们的建模效果也相当不错
图8.11（左）和（右）显示了PLS权重的散点图
产品数量的两个响应变量（FAR和PAR）受到负载（Ton_In）的显著影响，这是合理的
然而，真正有趣的是产品质量的两个响应变量（%Fe_FAR和%P_FAR）受到第二个磁选器（HS_2）的运行性能的强烈影响
因此，通过调整HS_2，可以在不牺牲产品数量的情况下影响产品质量
值得注意的是，在%Fe_FAR和%P_FAR方面，HS_2的平方项也有一定的影响
图8.10（左）完整Y数据的SOVRING子集的PLS模型拟合摘要
根据交叉验证，五个成分是显著的
（右）六个响应变量的单独R2Y和Q2Y值
最重要的响应变量是PAR、FAR、%Fe_FAR和%P_FAR
图8.11（左）PLS wc1/wc2载荷权重图
Ton_In是对PAR和FAR影响最大的因素
模型表明，通过增加Ton_In，PAR和FAR的数量会增加
在质量响应%Fe_FAR和%P_FAR上，HS_2存在显著的二次影响
这种非线性依赖关系在响应等高线图或响应曲面图中可以更好地解释
（右）PLS wc3/wc4权重图
图8.12 （左）PAR的响应等高线图，显示了Ton_In和HS_2的影响
（右）FAR的响应等高线图
8.5.3 探究因果关系为了更好地评估PLS模型中的高阶项（交叉项和平方项）的重要性，我们决定检查响应等高线图
图8.12和图8.13分别显示了重要响应PAR、FAR、%P_FAR和%Fe_FAR的等高线图
这些图是通过以Ton_In和HS_2作为坐标轴，并将HS_1设置为其高水平（通过回归系数图确定HS_1设置为高水平是有益的）来生成的
图8.13（左）%P_FAR的响应轮廓图
（右）%Fe_FAR的响应轮廓图
对这四个响应等高线图的评估代表了多个响应目标很少完全协调的典型示例
对于PAR、%P_FAR和%Fe_FAR这三个响应，模型的解释表明右上角（高HS_1、高HS_2和高Ton_In）代表了最佳操作条件
然而，对于FAR响应来说，似乎按照右下角的条件运行过程是最优的
因此，沿着右边缘保持某个位置似乎是一个合理的折中方案
8.5.4 绘制一个SweetSpot图以总结PLS结果SweetSpot图是一种实用的方式，可以同时考虑多个响应等高线图的优化结果
图8.14展示了使用MODDE® DoE软件基于PLS模型创建的SOVRING数据集的SweetSpot图
SweetSpot图可以看作是多个响应登高线图的叠加，即根据响应规范的满足程度进行颜色编码的叠加
如果图中包含绿色区域，研究人员就知道存在一个SweetSpot
图8.14显示了SOVRING工艺确实存在SweetSpot区域
SweetSpot图的局限性在于它不显示未能满足响应规范的风险
然而，通过在MODDE®软件中使用额外的面向QbD（质量设计）技术，可以评估这种失败风险
图8.15显示了SOVRING过程设计空间图，该图显示了失败风险
绿色区域表示低风险区域，失败概率低于1%
对PLS模型的设计空间结果的解释将在下一节讨论
图8.14 显示了SOVRING示例的SweetSpot图，建议SweetSpot应位于右上部分
图8.15 是SOVRING示例的设计空间图
绿色区域对应于风险低的设计空间，即失败风险为1%
8.5.5 使用PLS-DoE模型为SOVRING过程定义设计空间和参数接受范围
设计空间探索器用于对设计空间进行图形评估，并理解其在多维因子空间中的扩展情况
我们可以使用其输出作为“设计空间”和因子的参数接受范围之间的桥梁
图8.16呈现了设计空间的示意图及其与在优化多响应PLS模型的背景下经常遇到的其他概念的关系
首先，我们有“知识空间”的概念
在我们的解释中，知识空间是您使用实验设计进行实验的区域
其次，我们有设计空间，设计空间位于知识空间的某个位置
最后，在设计空间内，我们有时还谈到“正常操作区域”，它代表通常操作过程的体积（控制空间）
图8.16 示意图，说明知识空间、设计空间和正常操作（控制空间）区域之间的关系
此外，所得到的设计空间通常是一个高度不规则的体积
这是因为它由一个或多个PLS或多重线性回归（MLR）回归模型及其属性以及一些约束条件（例如响应规范和选择的统计接受标准）定义而成
无论设计空间的大小和形状如何，它代表了所有响应都符合规格要求的区域或体积，同时考虑了不确定性
为了深入评估设计空间，建议使用名为“Design Space Explorer”的工具进行工作
在运行优化器后，可以访问“设计空间探索器”
如果已经确定了一个稳健的设定点，启动该工具时会立即考虑该坐标
主要部分是一个二维图（参见图8.15），显示了设计空间在由选择为X轴和Y轴的两个因子定义的子空间中的大小和形状
在其下方，还有一个设计空间超立方体概述功能，用于在超出相应图表的二维表示的维度中理解所研究的设计空间的大小和形状
除了在二维空间中可视化设计空间外，设计空间探索器（图8.15）还提供了两个额外的图形工具：（1）十字准星符号，表示鲁棒设定点的位置；（2）虚线框架，显示所谓的设计空间超立方体的位置
内嵌的设计空间超立方体对应于可以在不违反响应规范的情况下使用的所有因子组合的范围
其在二维图中的延伸由虚线框架给出，而其在所有维度上的延伸则通过设计空间超立方体概览中的绿色表示
具体而言，图8.15中超立方体范围字段中的绿色表示因子的相互范围，可以在没有进一步限制的情况下同时改变所有因子
稍宽的个体范围由黑色的T线条图案表示，它表示在将所有其他因子保持在设定点值的情况下，可以接受的过程因子范围
超立方体范围字段提供的相互因子范围对应于可以嵌入不规则设计空间的最大规则体积
需要注意的是，可以通过单击和拖动特定因子范围的低端或高端来交互地改变超立方体范围
然而，由此产生的规则超立方体体积始终较初始规则体积小一些（图8.17）
图8.17 设计空间超立方体表示可以插入不规则设计空间中的最大规则几何结构
与设计空间概念密切相关的一个想法是因子的参数可接受范围（PAR）
在第一种方法中，使用设计空间探索器的超立方体范围字段中的信息
从稳健设定点坐标向外延伸的黑色T线表示因子的个体范围，即在将所有其他参数保持恒定的设定点值的情况下可以接受的过程参数的最大范围
第二种方法也基于超立方体范围字段中的信息，但此时考虑的是绿色条形
绿色条形标记了所有因子可以在相互范围内同时改变且无需进一步限制的范围
8.5.6 SOVRING应用总结SOVRING示例展示了在过程工业中使用优化设计的实用性
主要区分了两类响应：与产品数量（即产量）相关的响应和与产品质量相关的响应
通过增加矿石分选厂的负荷（Ton_In），FAR和PAR的产量增加
通过调节第二个磁选器（HS_2）的速度，可以在%P_FAR和%Fe_FAR这两个质量响应之间保持平衡
总结起来，在SOVRING示例中，使用DoE和PLS提高了对过程的理解，并获得更好的产品质量
然而，有时候无法完全应用DoE，或者无法达到预期的程度
在这种情况下，PAT方法可能是一个可行的替代方案或补充方案