温馨提示：任何对数学感兴趣的朋友皆可阅读
这个问题很有趣，也很普遍，我们可以聊聊
首先，回答这个问题之前，我们要先明确数学到底是不是为了有用，以及怎么才算有用？如果你认为数学作为工具在其它领域展现威力叫有用，那么代数有用，但是只起基本作用
它的最先进理论和结论都是为数学本身服务的
因此，它不怎么涉及那些涉及自然科学的前沿问题和实用问题
如果你指望它可以直接参与前沿问题的解决，那么很抱歉，代数对此不感兴趣
如果你认为数学作为工具在自己的地盘展现威力也叫有用，那么代数有不可替代的作用
如果对于自然科学来说，数学是骨架，物理血肉，那么对于数学来说，代数就是骨架，其它的是血肉【集合论中公理化的相关问题不算】
因此，对于问题“应用里是不是最没用的”，我们的回答是，要看在什么里的应用
代数是不是应用里最没用的数学?这个问题本身不是很重要，重要的是对它的延伸，太多学习数学的人有这样的误区：以大学数学系的课程为边界，他们认为代数的简单的，分析是困难的，它们觉得简单的东西似乎没什么深度——线性空间有什么好玩的，无聊，二次型、特征值没意思
即使抽象他们也觉得不是太难，但更多的感觉是有点单调——似乎都是在玩加减和乘，除法都少见了
往后学学结构，都是映射、同态、置换群、交换环之类的，有点无聊，这些太抽象、不具体、不能被直接用于(实用的)前沿
事实如此吗？是的，就是这样，大学数学系给出的感觉就是如此
对比如此明显的另一个因素是数学分析多出的三种计算极限、微分、积分
它们至少感觉上似乎比代数要更加丰富、有趣、灵活
而且，当实变函数和泛函分析到来时，极端抽象和难以把握的估值与不等式放缩，复杂且理不清思路的证明，让太多人恐惧这两门课程，再加上复分析作为优美且超级实用的“压倒骆驼的最后一根稻草”，分析从此在众多学子的心理留下了这样的印象：分析是丰富的、强大的、前沿的、困难的、是真正的数学，代数虽然也是数学，但只能屈居二线
我看其它评论，喜欢拓扑的似乎都比代数多
太简单的觉得不能体现数学的真谛，太复杂又难以掌握
呵呵
代数对比分析竟如此不堪？其实，代数是伟大的学科
在我心里，代数是和实变一样魅力无限的数学，那些认为实变函数过于病态的结论就像他们不理解代数的美丽一样偏激
大学有上面的感觉毫不奇怪，那是因为课程安排的缘故
其实数学系有四本分析：数学分析、实变函数、泛函分析、复分析，却只有两本代数：高等代数、近世代数
不考虑交叉学科，这两本纯代数教材能体现代数的全部吗？答案是：除非讲的全面，否则不能
高等代数课程基本定死，这没啥说的，但是近世代数是非常灵活的
它可以只讲群环域，但也可以讲范畴、概形
看你怎么选内容
代数大神Rotman的扛鼎之作《高等近世代数》从回顾代数基础知识开始，一直讲到范畴、同调代数等极为艰难的东西
包含近100年代数的发展，你看看人家写的
很多人不了解代数的意义
代数里有运算、有结构、有体系
它看似空洞的背后是海纳百川的“包容”
代数确实不能进行极限和微积分运算，但是极限在定义完成后的第一件事就是要考虑它和所谓四则运算的融合？为啥，因为代数是骨架，而运算的数学的灵魂之一
没有代数就没有运算
导数算子对于两个函数的加法是满足线性运算法则的，但是对于乘法它不满足【满足莱布尼茨律】，不管它满足什么，我们需要知道这个规则，这个规则的表述是代数
因为它有加法在里面
加减乘除是代数专有的，虽然讲各种数学时，它们都会出现，但是就学科内容归来来说，运算律是研究是代数的，而不是其它的
只要你用加减乘除，无论多少，它都是在代数的地盘上进行具体工作
函数体系是代数的
不是分析的
领地是分析的，当且仅当使用极限和微积分的运算
我们当然可以不用这些就定义函数的概念，高中时，在没学导数概念时，我们依然可以对函数进行所谓四则运算和求复合
因此就对象本身来说，函数其实是集合论的，但是就所在体系来说函数的复合是幺半群，而函数的加减与数量乘法是向量空间【叫函数空间】，这些都代数的
它们不需要极限、微分、积分就能定义
相反，后三种计算要求先有这些概念，然后再去考察它们能否与这些概念相容或者不相容
以定积分为例，它作用到函数上，把定积分看成算子，它的定义域就是函数空间，定积分的结果是个实数，那么定积分的目标域就是实数集R
所以定积分就是所谓的线性泛函——之所以是线性的，是因为它的性质：两个函数的加法、实数与函数的乘法，定积分都满足线性性质；之所叫泛函，是因为它作用的对象是函数本身而不是某个数
但是它对两个函数相乘就不满足线性性质
由此我们可以从代数角度来考察定积分的性质
很多人学到这都是盯着定积分的分析性质而没有意识到，它本身具有所谓线性泛函的性质
这样全体定积分就可以在向量空间这个更广阔的空间里研究了
而不是只拘泥于它的分析性质
可以直接对广义相对论进行计算的工具叫张量分析，那东西是先有张量代数，然后才是张量的协变微分；可以参与几何与物理的强大工具外微分是在外代数的体系下进而发展外微分的
没有代数构建的基本运算体系，其它衍生计算法则都是不可能有可靠、坚实的基础的
分析是细腻的，具体的、无穷小的，代数是博大、抽象、更广阔的【即使是无穷大本身——超限数也要考虑所谓的基本代数运算】
真正的代数是和泛函、实变不相上下的复杂体系
现在国内有很多翻译的教材，像代数几何、高等近世代数都可以去读一读
当模与范畴开始进入数学时，你的学习会相当困难，如果你没有足够的例子作为“直观素材”储备，你根本不理解那些只讨论陪集分类和同态的东西能具体用到哪些数学上
当我们在范畴上进行同调代数、讨论环层空间时，你会发现，那种限制你使用分析方式的研究比让你随意使用分析技术更叫恼人
高等代数和近世代数在大学只是开胃小菜，无论你喜不喜欢它们，如果你只认为代数就是大学的那两门课，那么这个想法将会误导你对整个数学世界中代数体系和难度的认知
再说一遍，真正的代数是和分析一样困难的数学体系，费马大定理的证明就是如此，很多人知道它和模曲线有关，是个数论命题，但是它的证明完全是代数的功劳——在概形体系下，通过关联模曲线与费马定理，利用反证法给出模曲线的模形式的某种特殊性和一般性相矛盾，从而间接证明费马定理
这个过程与分析技巧无关，那是强悍无比的代数体系在数论命题上的极大胜利
所以，代数对于数学本身比它对于物理应用重要的多
不要小瞧代数的复杂和庞大程度
它的体系不比分析更简单，只是你没学那么深罢了

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